Ein kleines Gewinnziel kann im Modell oft vor dem Ruin erreicht werden

Nach einem Plus weiterzuspielen, bis ein festes Ziel erreicht ist, verändert die möglichen Endpunkte: Entweder wächst der Saldo bis zum Ziel, oder das Geld ist aufgebraucht. Im fairen Modell mit fester Einheit lautet die Wahrscheinlichkeit fürs Ziel exakt Startsaldo geteilt durch Zielsaldo. Da jeder Gewinn netto +1 und jeder Verlust −1 bringt, bleibt der erwartete Nettosaldo dabei exakt null und das erwartete Endguthaben exakt der Startsaldo. In diesem Artikel gilt das bis zur Absorption: Das Spiel endet erst, wenn der Saldo das Ziel oder null erreicht; es gibt kein zusätzliches Zeitlimit.

Was Start, Ziel und Ruin in diesem Modell bedeuten

Alle Zahlen sind fiktive Recheneinheiten, keine echten Wetten. Du startest mit 10 Einheiten. Der Einsatz pro Spiel beträgt 1. Bei einer fairen Quote von 2,00 bringt ein Gewinn netto 1 Einheit; ein Verlust kostet 1 Einheit. „Fair“ heißt hier: Gewinn und Verlust sind gleich wahrscheinlich, je 50 Prozent. Der erwartete Nettosaldo einer einzelnen Wette ist dann 0,50 − 0,50 = 0. Die Ergebnisse sind unabhängig und identisch verteilt: Jede nächste Wette hat dieselbe festgesetzte Trefferchance, unabhängig von allen vorherigen Ergebnissen. Ein Nettosaldo bezeichnet hier die Änderung gegenüber den anfänglichen zehn Einheiten; das Guthaben ist der verbleibende Gesamtbetrag.

Das Ziel ist ein festes Plus, zum Beispiel +5. Der Zielsaldo liegt dann bei 15. Ruin bedeutet, dass der Saldo auf null fällt. Die Ruinwahrscheinlichkeit ist die Chance, null zu erreichen, bevor das Ziel erreicht ist.

Ein kleines Beispiel mit zwei Einheiten

Startest du mit 1 und ist dein Ziel 2, führt ein einziges faires Spiel zu einem von zwei Endpunkten: Ein Gewinn bringt dich direkt ans Ziel, ein Verlust direkt auf null. Die Zielchance beträgt 1/2.

Bei Start 2 und Ziel 4 gibt es für die ersten zwei Spiele vier gleich wahrscheinliche Folgen: Gewinn-Gewinn erreicht 4; Gewinn-Verlust und Verlust-Gewinn führen zurück auf 2; Verlust-Verlust endet bei null. Die beiden Folgen mit Saldo 2 sind kein Abschluss: Das Spiel geht weiter, bis ein Endpunkt erreicht ist.

Vier Ziele im direkten Vergleich

Beim Startsaldo 10 ergibt sich die erwartete Zahl der Wetten aus dem fairen Zufallsweg bis zu null oder zum Ziel. Sie ist kein Zeitplan für einen einzelnen Verlauf.

Fiktives Modell: Start 10, Einsatz 1, faire Quote 2,00

So liest du die Tabelle: Je weiter das Ziel vom Start entfernt ist, desto kleiner ist die Chance, es vor null zu erreichen. Am Ende steht der Saldo entweder beim Ziel oder bei null. Im zweiten Fall beträgt das Ergebnis gegenüber dem Start immer −10 Einheiten. Für jede Zeile gilt dieselbe Prüfung: Erwarteter Nettosaldo = Zielwahrscheinlichkeit mal Gewinn (m) minus Verlustwahrscheinlichkeit mal verlorenes Startguthaben (10). Beim Ziel +2 sind das (5/6)·2 + (1/6)·(−10) = 0; beim Ziel +10 genau 0,50·10 − 0,50·10 = 0. In allen vier Fällen bleibt der erwartete Nettosaldo exakt null und das erwartete Endguthaben exakt 10.

Warum das Verhältnis von Start zu Ziel entscheidet

Bei einem festen Zielsaldo von 15 steigt die Zielchance mit dem Start: Von 5 aus sind es 5/15, also 1/3; von 10 aus 10/15, also 2/3. Startest du bereits bei 15, ist das Ziel erreicht. Bei einem festen Abstand von 10 Einheiten ergeben sich dagegen für Start 5, 10 und 15 die Chancen 5/15 = 1/3, 10/20 = 1/2 und 15/25 = 3/5. Die Zieldistanzen sind gleich, die Wahrscheinlichkeiten steigen aber nicht in gleichen Schritten.

Die Rechnung dahinter ist eine Erstschritt-Betrachtung: Von jedem Saldo aus führt eine Wette mit Chance 0,50 zum Saldo +1 und mit Chance 0,50 zum Saldo −1. Wer diese Bedingung für alle Salden zwischen 0 und Ziel gleichzeitig löst, erhält exakt Start geteilt durch Ziel. Dieselbe Erstschritt-Rekurrenz liefert die erwartete Spieldauer: Sie ist Start mal Gewinnabstand, also 10·2 = 20 Wetten beim Ziel +2 und 10·10 = 100 beim Ziel +10.

Die Formel in Worten lautet: Zielwahrscheinlichkeit = Startsaldo geteilt durch Zielsaldo.

Wenn die einzelne Wette einen negativen Erwartungswert hat

Nun sinkt die fiktive Trefferchance von 50 auf 48 Prozent, also auf 0,48. Jede Wette bringt dann im Durchschnitt 0,48 − 0,52 = −0,04 Einheiten, der erwartete Nettosaldo ist nicht mehr null. Für diesen Fall lautet die Lösung der Erstschritt-Rekurrenz: Zielwahrscheinlichkeit = ((q/p) hoch Start minus 1) geteilt durch ((q/p) hoch Ziel minus 1), mit q/p = 0,52/0,48. Bei Start 10 beträgt die Chance, ein Ziel von +5 zu erreichen, 52,8149 Prozent; der erwartete Nettosaldo liegt trotzdem bei 0,528149·5 − 0,471851·10 = −2,0778 Einheiten. Beim Ziel +10 sind es 30,9934 Prozent und −3,8013 Einheiten; beim Ziel +20 sinkt die Zielchance auf 12,2193 Prozent und der erwartete Nettosaldo auf −6,3342 Einheiten.

Die größere mögliche Auszahlung gleicht die sinkende Zielchance in diesen vier Modellfällen nicht aus: Der erwartete Nettoverlust wächst mit dem Ziel. Daraus folgt weder eine Empfehlung für ein kleines Ziel noch eine Aussage über reale Trefferchancen.

Gegenprobe bei 48 Prozent Trefferchance, Startguthaben 10

So liest du die Tabelle: Einheiten im letzten Feld sind ein mit Wahrscheinlichkeiten gewichteter Durchschnitt, kein sicher eintretender Verlust. Bei jedem Ruin endet das Guthaben bei null, also netto bei −10. Die Trefferchance von 48 Prozent ist frei gesetzt.

Was dieses Modell nicht zeigt

Das Grundmodell setzt Quote 2,00 und 50 Prozent Trefferchance voraus; die Gegenprobe verändert nur die Trefferchance auf 48 Prozent. Beide Fälle verwenden unabhängige, identisch verteilte Ergebnisse und exakt eine Einheit je Wette. Gestoppt wird beim ersten Erreichen von null oder des festen Zielguthabens. Zusätzliche Zeit- oder Verlustgrenzen, Nachzahlungen, Gebühren und Änderungen der Einsatzhöhe fehlen. Ein zusätzliches Zeitlimit wäre ein anderes Modell und kann die Zielwahrscheinlichkeit verändern. Unbekannte reale Trefferchancen werden damit nicht geschätzt. Der Vergleich ist keine Wettempfehlung. Orientierung bietet Risiken und Hilfe.

Was dieser Vergleich zusätzlich beantwortet

Eine Gewinnpause, eine feste Zahl von Einzelwetten und eine Aufholregel untersuchen andere Fragen. Lies dazu den Beitrag zur Gewinnpause, den Vergleich von Einzelwetten und die Analyse zur Aufholregel. Weitere Modellprüfungen findest du unter Wettstrategien; Grundfragen zu Kennzahlen behandelt Zahlen verstehen.

Im heutigen Vergleich mit zehn Wetten variiert dagegen die Einsatzhöhe bei einer festen Zahl von Ergebnissen. Hier bleibt der Einsatz immer eins, während die Zahl der Wetten bis zu einem der beiden Endpunkte zufällig ist. Die Aussagen dürfen nicht miteinander vertauscht werden. Zum Vergleich mit zehn festen Wetten

Quellen & Datenstand

Alle acht Modellvarianten wurden mit exakter Bruchrechnung aus den Erstschritt-Gleichungen über alle Guthaben zwischen null und Ziel gelöst. In den vier fairen Varianten stimmen zusätzlich Start geteilt durch Ziel und Start mal Gewinnabstand für Zielchance und mittlere Spieldauer mit dieser Lösung überein. Die vier Varianten mit 48 Prozent Trefferchance wurden getrennt mit der oben angegebenen geometrischen Formel gegengeprüft; die fairen Formeln gelten dort nicht. Die Methode entspricht dem Vorlesungsskript „Random Walks“ (MIT 6.042J, Lecture 26), das Gambler’s Ruin über Erstschritt-Rekurrenz behandelt und dort auf den Seiten 8–9 die faire Formel n/(n+m) sowie auf den Seiten 17–18 die Spieldauer n·m herleitet; abgerufen am 02.11.2026. Datenstand: 02.11.2026. Alle Einheiten sind fiktiv; es geht weder um reale Wetten noch um Quotenempfehlungen oder Gewinnversprechen.

Begriffe ohne Vorwissen erklärt der Einstieg.

Die vollständigen exakten Modelldaten als CSV nennen alle acht Varianten, Ziel- und Ruinwahrscheinlichkeiten, mittlere Spieldauer und erwarteten Nettosaldo. Brüche erlauben die Gegenrechnung ohne Rundung. Es sind ausschließlich fiktive eigene Modelldaten, keine beobachteten Wettkonten.