Im Modell kann häufigeres Plus zugleich häufigeres Minus bedeuten

Was verändert sich, wenn du bei derselben Trefferchance nicht immer denselben Betrag einsetzt? In diesem fiktiven Modell bleibt der Erwartungswert bei null. Die Wahrscheinlichkeit, nach zehn Wetten insgesamt im Plus zu liegen, steigt von 37,70 auf 50 Prozent. Gleichzeitig nehmen aber auch die Schwankung und der mögliche Höchstverlust zu. Der Plus-Anteil allein erzählt also nicht die ganze Geschichte.

Das fiktive Modell

Angenommen, es gibt zehn voneinander unabhängige Wetten. „Unabhängig“ bedeutet hier: Das Ergebnis einer Wette verändert nicht die Trefferchance der anderen. Jede Wette hat dieselbe angenommene Trefferchance von 50 Prozent und eine fiktive Dezimalquote von 2,00. Jede endet entweder mit einem Gewinn oder mit dem vollständigen Verlust des Einsatzes. Provisionen und weitere Abzüge gibt es im Modell nicht.

Bei dieser Quote entspricht der Nettogewinn im Trefferfall dem eingesetzten Betrag: Ein Einsatz von 10 Euro bringt 10 Euro Gewinn, zusätzlich zur Rückzahlung des Einsatzes. Ein Fehlgriff kostet die vollen 10 Euro. Damit ist der rechnerische Durchschnitt pro Einsatz genau null: Bei 50 Prozent Trefferchance gleichen sich gleich hohe mögliche Gewinne und Verluste aus.

Verglichen werden zwei Einsatzverteilungen:

Variante A: zehnmal 10 Euro, insgesamt 100 Euro.Variante B: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 und 20 Euro, insgesamt 110 Euro.

Alle folgenden Zahlen sind Modellwerte, keine echten Quoten oder Ergebnisse aus realen Spielen.

Was die exakte Rechnung zeigt

Bei zehn unabhängigen Wetten gibt es 1.024 mögliche Muster aus Treffern und Fehlgriffen. Im fiktiven Modell sind diese Muster gleich wahrscheinlich. Die genaue Auszählung ergibt:

Zwei Varianten mit derselben Trefferquote im Vergleich

So liest du die Tabelle: Der Erwartungswert bleibt bei beiden Varianten null. Er beschreibt den rechnerischen Durchschnitt über alle möglichen Ergebnisse, nicht den Ausgang einer einzelnen Zehnerfolge. Bei ungleichen Einsätzen führen mehr Ergebnismuster zu einem positiven Gesamtsaldo, weil die Höhe der Einsätze mitentscheidet. Gleichzeitig werden die Ergebnisse ungleichmäßiger: In Variante B gibt es keine Nullbilanz, dafür häufiger sowohl Plus als auch Minus. Und wenn alle zehn Wetten verloren gehen, beträgt der Verlust 110 statt 100 Euro.

Bei gleichen Einsätzen zählt für den Gesamtsaldo nur, wie viele Wetten gewonnen werden. Bei zehnmal 10 Euro ergeben fünf Treffer eine Nullbilanz. Im Muster mit ungleichen Beträgen zählt auch, welche Einsätze getroffen haben: Treffen etwa die fünf größten Einsätze, summieren sie sich auf 80 Euro. Die fünf Fehlgriffe betreffen zusammen 30 Euro. Der Saldo ist dann plus 50 Euro. Treffen dagegen die fünf kleinsten Einsätze, entsteht trotz derselben Trefferzahl ein Minus von 50 Euro.

Warum verschwindet die Nullbilanz in Variante B? Für einen Gesamtsaldo von null müssten genau 55 der insgesamt 110 Euro auf gewonnene Wetten entfallen. Jeder einzelne Einsatz ist aber eine gerade Eurozahl. Auch die Summe beliebiger gewonnener Einsätze ist deshalb gerade und kann niemals 55 Euro ergeben. Zu jedem Plus-Muster gehört ein gleich wahrscheinliches Muster mit vertauschten Treffern und Fehlgriffen und entsprechendem Minus. Ohne Nullfälle landen so genau 512 der 1.024 Muster im Plus und 512 im Minus. Das ist eine Eigenschaft dieser gewählten Beträge; ungleiche Einsätze erhöhen die Plus-Wahrscheinlichkeit nicht grundsätzlich.

Warum die Varianz steigt

Die Varianz beschreibt, wie breit Ergebnisse um ihren Durchschnitt streuen. Die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel und lässt sich in diesem Beispiel wieder in Euro ausdrücken.

Für unabhängige Ergebnisse addiert man die einzelnen Varianzen, nicht die Standardabweichungen. Das erklärt das NIST/SEMATECH e-Handbook auf der Seite zur Fehlerfortpflanzung: Bei unabhängigen Größen fällt der Kovarianzterm weg. Die ergänzende NIST-Seite zu Mittelwertvektor und Kovarianzmatrix erläutert, dass Varianzen auf der Diagonale und Kovarianzen zwischen Variablen an den übrigen Stellen der Matrix stehen.

Ein einzelner Einsatz E bringt in diesem Modell entweder +E oder −E Euro. Bei 50 Prozent Trefferchance ist der Durchschnitt null; der durchschnittliche quadrierte Abstand dazu ist E². Für unabhängige Ergebnisse addieren sich diese einzelnen Varianzen. Hier ist die Gesamtvarianz deshalb die Summe der Einsatzquadrate.

Für Variante A ergibt sich 10 × 10² = 1.000 Euro². Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel daraus, also 31,62 Euro. Für Variante B ergibt sich 2² + 4² + … + 20² = 1.540 Euro². Die Standardabweichung beträgt damit 39,24 Euro. Beide Werte stimmen mit der Auszählung der möglichen Treffer- und Fehlermuster überein.

Varianzanteil der einzelnen Einsätze bei Variante B

Der größte Einsatz von 20 Euro trägt damit rund 26 Prozent zur Gesamtvarianz bei. Der kleinste Einsatz von 2 Euro trägt nur rund 0,26 Prozent bei. Das Einsatzgewicht beeinflusst die Streuung also nicht gleichmäßig.

Auch der Vergleich bei gleicher Gesamtsumme zeigt den Unterschied. Würden die 110 Euro gleichmäßig auf zehn Wetten verteilt, läge jeder Einsatz bei 11 Euro und die Varianz bei 1.210 Euro². Die ungleiche Variante kommt auf 1.540 Euro². Das Mehr an Streuung entsteht somit nicht nur dadurch, dass Variante B insgesamt 10 Euro mehr einsetzt, sondern auch durch die ungleiche Verteilung.

Was dieses Modell nicht zeigt

Die Rechnung setzt voraus, dass jede Wette dieselbe feste Trefferchance hat und die Ergebnisse unabhängig sind. In Wirklichkeit können Ereignisse zusammenhängen, die eigene Schätzung der Trefferchance kann falsch sein, und die Abrechnung kann weitere Regeln oder Abzüge enthalten. Solche Einflüsse sind hier nicht berücksichtigt.

Auch der Plus-Anteil ist kein Maß für die Qualität einer Einschätzung. Er sagt nur, wie viele der modellierten Zehnerfolgen mit den jeweiligen Annahmen im Plus enden. Die höhere Plus-Wahrscheinlichkeit geht hier zusammen mit einer größeren Standardabweichung und einem höheren möglichen Verlust. Sie ist weder eine Prognose noch ein Beleg dafür, dass eine Einsatzverteilung bessere Ergebnisse erzielt.

Was sich gegenüber gleichen Einsätzen ändert

Der Beitrag zu zwei Wetten mit gleichem Erwartungswert vergleicht unterschiedliche Wetten bei gleichem Einsatz. Hier bleibt dagegen die angenommene Trefferchance unverändert, während sich die Einsatzhöhen unterscheiden. Dadurch zeigt das Beispiel eine andere Frage: Wie verändert die Verteilung der Beträge den Gesamtsaldo und seine Streuung?

Für eine grundlegende Einordnung von Zahlen und Modellannahmen helfen außerdem Zahlen verstehen und der Einstieg in unser Informationsangebot.

Quellen und Datenstand

Prüfdatum: 2. November 2026. Die oben verlinkten NIST/SEMATECH-Seiten erklären die verwendete Varianzregel und die Kovarianzbegriffe. Die Modellwerte sind eigene exakte Berechnungen über alle 1.024 möglichen Treffer- und Fehlermuster. Die Varianz-Summen wurden zusätzlich mit den Abständen dieser 1.024 Gesamtsalden von ihrem Mittelwert gegengeprüft. Alle Einsätze, Trefferchancen und Ergebnisse im Beispiel sind fiktiv.